Другие дисциплины › Методы исследования › Теория вероятностей. Примеры решения задач

Непрерывные случайные величины. Примеры решения задач

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде:

где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:

Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х:

• равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

При решении задач широко используют числовые характеристики непрерывных случайных величин (таблица 1).

Таблица 1 - Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовая характеристика	Обозначение и формула
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то математическое ожидание вычисляют
Дисперсия непрерывной случайной величины Х
иначе
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то дисперсию вычисляют
иначе
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х

Пример решения задачи по теме «Непрерывные случайные величины»

Задача. Известна плотность вероятности случайной величины:

Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания X в интервал (-π/4; π/4).
Построить графики f(x), F(x).

Решение. 1. Зная свойства плотности вероятности - функции f(х), найдем неизвестный параметр а. Из неравенства f(х)≥0, делаем вывод, что а≥0. Далее:

Вычислим данный интеграл. Зная, что его значение должно быть равно единице, выразим а.

= а-(-а)=2а. Зная, что

получаем 2а=1, отсюда а=1/2.

График функции f(x) - плотности распределения вероятностей случайной величины представлен на рисунке 1.

2. Для нахождения функции F(x) используем формулу, определяющую интегральную функцию распределения. Так как f(x) задана различным образом на трех разных интервалах, то выражение для F(x) находим отдельно для каждого интервала.

если х ≤ 0

Если 0 < х ≤ π, то

= ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx)

Если х > π, то

Искомая интегральная функция принимает окончательный вид:

График функции F(x) представлен на рисунке 2.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π/4; π/4) найдем по формуле: P(a<x<b)=F(b)-F(a).
P(-π/4 < x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).

Другие статьи по данной теме:

• назад: Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач
• далее: Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.