Другие дисциплины › Методы исследования › Теория вероятностей. Примеры решения задач

Формула полной вероятности. Формулы Бейеса. Примеры решения задач

Как известно, вероятностью события А называют отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов: Р(А)=m/n.

Кроме того, условной вероятностью события А (вероятностью события А при условии, что наступило событие В) называется число Р_В(А) = Р(АВ)/Р(В), где А и В – два случайных события одного и того же испытания.

Поскольку события представимы в виде суммы и произведения, то и существуют правила сложения вероятностей событий и, соответственно, правила умножения вероятностей. Теперь дадим понятие полной вероятности.

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, называемых гипотезами. Тогда справедлива следующая формула полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)*Р_Н1(А)+ Р(Н2)*Р_Н2(А)+…+ Р(Нn)*Р_Нn(А) = ∑Р(Нi) *Р_Нi(А),

т.е. вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез (априорные вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по формулам Бейеса:

Примеры решения задач по теме «Формула полной вероятности. Формулы Бейеса»

Задача 1.

На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти вероятность того, что на сборку попадает бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100 деталей, со второго – 200 и с третьего – 250 деталей.

Решение. 1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

• событие А = {на сборку попадает бракованная деталь};
• гипотеза Н1 = {эта деталь с первого автомата}, Р(Н1)= 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• гипотеза Н2 = {эта деталь со второго автомата}, Р(Н2)= 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;
• гипотеза Н3 = {эта деталь с третьего автомата}, Р(Н3)= 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Условные вероятности того, что деталь бракованная составляют Р_Н1(А)=3%=0,03, Р_Н2(А)=2%=0,02, Р_Н3(А)=4%=0,04.

3. По формуле полной вероятности находим
Р(А)= Р(Н1)*Р_Н1(А)+ Р(Н2)*Р_Н2(А)+Р(Н3)*Р_Н3(А) = 0,03*2/11 + 0,02*4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Задача 2.

Имеются две одинаковые урны. Первая содержит 2 черных и 3 белых шара, вторая – 2 черных и 1 белый шар. Сначала произвольно выбирают урну, а затем из нее наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

Решение. 1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

• А = {белый шар извлечен из произвольной урны};
• Н1 = {шар принадлежит первой урне}, Р(Н1)=1/2=0,5;
• Н2 = {шар принадлежит второй урне}, Р(Н2)=1/2=0,5;

2. Условная вероятность того, что белый шар принадлежит первой урне Р_Н1(А)=3/(2+3)=3/5, а условная вероятность того, что белый шар принадлежит второй урне Р_Н2(А)=1/(2+1)=1/3;

3. По формуле полной вероятности получим Р(А) = Р(Н1)*Р_Н1(А)+Р(Н2)*Р_Н2(А) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3/10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Задача 3.

Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: из первого цеха – 70%, из второго цеха 30%. Литье первого цеха имеет 10% брака, литье из второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность ее изготовления первым цехом?

Решение. 1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

• событие А = {болванка без дефекта};
• гипотеза Н1 = {болванка изготовлена первым цехом}, Р(Н1)=70%=0,7;
• гипотеза Н2 = {болванка изготовлена вторым цехом}, Р(Н2)=30%=0,3.

2. Так как литье первого цеха имеет 10% брака, то 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта, т.е. Р_Н1(А)=0,9.
Литье второго цеха имеет 20% брака, то 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта, т.е. Р_Н2(А)=0,8.

3. По формулу Бейеса найдем Р_А(Н1)

= 0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

Другие статьи по данной теме:

• назад: Задачи ОГЭ и ЕГЭ, решаемые по правилам сложения и умножения вероятностей
• далее: Повторение независимых испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.